Місце задач на рух у системі складених задач при вивченні математики в 4 – 5 класах
(методична розробка)
Укладач: вчитель математики Кириловський І.Н.
с.Глухе 2016р.
Зміст
1.Вступ
2. Актуальність проблеми розв’язування задач на рух
3. Роль задач при вивченні математики
4. Місце задач на рух у системі складених задач
5. Формування умінь учнів розв’язувати задачі на рух
6. Методика розв’язування задач на рух
7.Висновки
8.Список літератури
Вступ
Актуальним завданням удосконалення роботи школи є підвищення якості навчання школярів, зокрема підготовка їх до подальшого життя і навчання, формування уміння вчитися. Учень уміє вчитися, якщо він «сам визначає або приймає мету, поставлену вчителем, відповідно до неї планує і виконує необхідні дії, контролює та оцінює свої результати. Така розгорнутість характеризує сформовану навчальну діяльність». Щоб успішно просуватися вперед, учні у співробітництві з учителем повинні оволодіти повним діапазоном загальнонавчальних умінь і навичок, серед яких розв’язування задач займає провідне місце.
Обґрунтування шляхів і методів досягнення мети навчання і виховання гармонійно і всебічно розвиненої особистості у сучасній школі – є значною теоретичною і практичною проблемою. Суспільство, вимагаючи творчих, інтелектуальних, освічених працівників, орієнтує загальноосвітні заклади «не лише на збагачення учня змістовними знаннями, а й на розвиток його особистості, формування прийомів розумової діяльності, соціокультурної компетентності, на виявлення людей з цінними задатками». Формування такої особистості значною мірою здійснюється у навчальному процесі. Розкриттю розумових особливостей кожного учня значною мірою сприяє розв’язування задач.
Давно відомо, що вивчення математики є одним з найкращих способів розвитку й тренування розумових здібностей людини. Математика дисциплінує розум, спрямовує думки, розвиває пам'ять, фантазію, образне мислення, відчуття краси. Для занять математикою дітям не потрібно ніяких особливих обдарувань, таких, як музичний слух для музиканта чи вміння чітко розрізняти кольори для художника. Навпаки, математика сама формує вміння і покращує здібності дитини. Щоправда, «розв'язання задач, особливо складних, вимагає напруження розуму, наполегливості і терпіння, але саме цього вимагатиме від дитини її майбутнє життя». Тому, можливо,на всіх уроках потрібно допомагати школярам розвивати вольові якості, які знадобляться їм у подальшому житті. Як це зробити? Підтримати у дитини впевненість у тому, що вона зможе розв'язати будь-яку задачу – треба тільки подумати, правильно поставити запитання, уявити собі ситуацію і проаналізувати її; намагатися викликати інтерес до роботи.Навчання математики, зокрема формування вмінь розв'язувати задачі, здійснюється шляхом виконання різних завдань. У процесі розв'язування задач реалізуються цілі навчання за такими напрямками:
► здобуття і вдосконалення математичних знань;
► формування математичних вмінь;
У процесі вивчення математика виступає перед учнями не тільки як система логічних правил і дедуктивних доведень, а й як метод пізнання, засіб розв'язування питань практичного характеру». При цьому істотне значення для виконання цих завдань мають зміст і методика навчання учнів 5 – 9 класів розв'язувати задачі.Задачі виникають під час реальних проблемних ситуацій. Останні постають тоді, коли людина (суб'єкт) в своїй діяльності, спрямованій на якийсь об'єкт, натрапляє на певні труднощі. Якщо людина усвідомлює ці труднощі і хоче подолати їх, то в ній активізується розумова діяльність. Щоб проаналізувати і описати проблемну ситуацію, людина виходить за її межі і дивиться на неї «збоку». Такий опис проблемної ситуації і є задачею . Задача – це вже об'єкт, який можна передавати іншій людині.
Розв'язування математичної задачі – це «процес встановлення (знаходження) зв'язків між даними величинами, між даними та шуканою величиною, формулювання цих зв'язків мовою математики у вигляді алгебраїчних перетворень, виконання послідовності дій для знаходження числового значення шуканої величини». Основне завдання педагога – вчити учнів знаходити зв'язки і добирати їх послідовність для визначення невідомої величини.Вміння розв'язувати задачі вимагає від школярів знання деяких життєвих ситуацій, залежностей між величинами, розуміння суті алгебраїчних законів, знання прийомів обчислень, загальних правил, причинно-наслідкових зв'язків, суті та структури задачі.
Актуальність проблеми пов’язана з тим, що у школярів середніх та старших класів виникають чималі труднощі під час розв'язування задач на рух. Однією з причин цього ми вважаємо недостатню сформованість у початкових класах понять про величини: час, відстань, швидкість та пропорційну залежність. Формувати у молодших школярів необхідні поняття можна як на матеріалі чинних підручників початкових класів, так і доповнюючи його задачами, складеними на підґрунті типових задач, призначених для учнів середніх класів. Тому слід допомогти вчителям початкових класів усвідомити особливості розв'язування задач на рух з молодшими школярами у процесі самостійної роботи над задачами на рух.
Роль задач при вивченні математики
Значне місце в курсі математики займає розв’язування текстових задач. Термін «задача» вживається в різних значеннях. У найширшому плані можна сказати, що задача передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна. У психологічному аспекті задача розглядається як свідома мета, що існує в певних умовах, а дії – як процеси або акти, спрямовані на досягнення її, тобто на розв'язування задачі.Під математичною задачею розуміють «будь-яку вимогу обчислити, побудувати, довести що-небудь, що стосується кількісних відношень і просторових форм, створених людським розумом на основі знань про навколишній світ». Арифметичною задачею називають «вимогу знайти числове значення деякої величини, якщо дано числові значення інших величин і існує залежність, яка пов'язує ці величини як між собою, так і з шуканою».
1) Виховні функції задач спрямовані на формування в учнів наукового світогляду. Як виховний засіб задачі дають змогу пов'язати навчання з життям, ознайомити учнів із пізнавально важливими фактами, Числові дані задач характеризують успіхи економічного зростання в нашій країні, трудові досягнення колективів підприємств, показують зростання добробуту й культури українського народу. Це виховує у дітей свідоме ставлення до навчання, любов до Батьківщини, бажання зробити власний внесок у загальну справу. Внутрішня краса самої математики, оригінальність прийомів розв'язування задач збуджують у дітей естетичні почуття.
2) Розвивальними функції задач спрямовані на формування в учнів науково-теоретичного, зокрема функціонального, стилю мислення, на оволодіння ними прийомами розумової діяльності. У процесі розв'язування задач учні виконують різні розумові операції (аналіз, синтез, конкретизація і абстрагування, порівняння, узагальнення), висловлюють судження і міркування. Для активізації розумових дій учнів під час розв'язування задач запитання треба ставити так, щоб вони спонукали до порівнювання, зіставлення, перевірки тощо.
3) Текстові задачі відображують конкретні життєві ситуації, використовуються для ознайомлення учнів з певними математичними поняттями та закономірностями, для з'ясування взаємозв'язків між словом і символом, між символом і поняттям.
Задачі кожного типу бувають і легкими, і важкими, і дуже важкими для дітей. Таким чином, потрібно спеціально готувати учнів до усвідомлення того, що не завжди, розв'язуючи задачу, можна одразу відповісти на її запитання. З цього витікає необхідність ґрунтовної підготовчої роботи до розв'язання задач на три, чотири і більше дій і продуманої методики введення поняття «складена задача» та подальшого формування у дітей умінь розв'язувати такі задачі.Дорослим людям, фахівцям багатьох професій доводиться розв'язувати задачі під час виконання різних робіт. Наприклад, при обчисленні ціни, вартості товару, витрати матеріалів, числових характеристик багатьох явищ. Це задачі практичного змісту. Щоб уміти їх розв'язувати, треба спочатку навчитися розв'язувати задачі, що пропонуються підручником і вчителем. У школі задачі застосовуються при вивченні математики, фізики, хімії та деяких інших навчальних предметів, у процесі їх розв'язування в учнів підвищується розумовий розвиток,критичне мислення, формуються загальнонавчальні уміння, вони вчаться аналізувати, робити висновки, порівнювати, складати план, узагальнювати тощо.
Задачі складаються на основі матеріалів спостережень за явищами природи, практичної діяльності людей, математичних закономірностей, інколи за казковими, фантастичними сюжетами. Під час складання задачі необхідно дотримуватися таких вимог: умова не повинна містити неправильні твердження, числові дані мають бути правдоподібними, реальними (крім задач фантастичного змісту), умова і запитання мають бути пов'язані між собою.
Розв'язати задачу – означає встановити (розкрити, відшукати, побачити, пояснити) зв'язки між даними і шуканим числами або величинами, на основі чого дібрати потрібні арифметичні дії або алгебраїчні вирази та їх порядок виконання, знайти результати дій, а потім відповісти на запитання задачі. Відповідь задачі не відгадується, а знаходиться при виконанні потрібних дій (операцій). Розв'язування задачі – це процес, «робота, яка включає ознайомлення з текстом задачі, роздуми (міркування) над її розв'язанням, запис чи формулювання дій та відповіді». Розв'язання задачі – це запис (формулювання) порядку арифметичних дій, за допомогою яких знаходиться відповідь до задачі. Розв'язок – відповідь на запитання задачі. А ще розв'язком називають числове значення шуканої величини
За формою побудови завдання можуть бути стандартними і нестандартними. Стандартні завдання – це задачі, в яких присутні всі складові елементи. Вони призначені для засвоєння і закріплення вмінь розв'язувати задачі певних видів. Стандартні завдання містять достатню кількість даних для отримання однозначного розв'язку і при цьому зайві дані відсутні; у їх змісті немає суперечності; завдання відповідають реальності Це означає, що питання тісно пов'язані із даними, умова достатньо точно висловлена і завдання піддається математизації.
Нестандартні завдання спрямовані на практичне застосування набутих раніше учнями знань і вмінь у змінених, незвичайних умовах, на розширення, поглиблення й удосконалення вмінь завдяки різноманітним варіантам постановки завдань. У завданнях даного типу присутні нешаблонні ситуації, що потребують застосування пошукового досвіду, здогадки, кмітливості, проведення складних порівняно зі стандартними задачами міркувань, певних напружень розумової діяльності і творчого підходу. Найчастіше в методичній літературі нестандартні завдання називають творчими.
До нестандартних відносять завдання із зайвими даними; недостатніми даними; суперечливими даними; неправильним або незвично сформульованим текстом. Крім того, до нестандартних належать завдання на складання або переформулювання задач. Ці завдання відзначаються тим, що в першому випадку на їх основі необхідно скласти нову задачу, а в другому – основою для складання нової задачі є вже розв'язана або подана готова.
Отже, текстові задачі спрямовані на вдосконалення і поглиблення математичних знань, формування математичних умінь, розвиток творчого логічного і критичного мислення. Вони передбачають поступове ускладнення і достатню кількість завдань для кожної групи учнів і, залежно від рівня навчальної діяльності, виконуються під керівництвом учителя, напівсамостійно чи самостійно.
Місце задач на рух у системі складених задач
Підготовча робота до розв'язування задач, пов'язаних з рухом, передбачає узагальнення уявлень дітей про рух; розтлумачення поняття швидкості, розкриття зв'язків між величинами: швидкість, час, відстань.Під час ознайомлення із швидкістю доцільно так організувати роботу, щоб учні визначили швидкість свого руху пішки. Для цього в дворі, в спортзалі або коридорі можна позначити «замкнуту доріжку», поділивши її на відстані по 10 м, щоб зручніше було визначати шлях, який проходить кожний учень. Учитель пропонує дітям іти доріжкою, наприклад, протягом 4 хв. Учні самостійно легко знайдуть, користуючись десятиметровими позначками, пройдену відстань. На уроці кожен учень може обчислити, яку відстань він проходить за 1 хв. Учитель повідомляє, що відстань, яку пройшов учень за хвилину, називають його швидкістю. Учні називають свої швидкості. Потім учитель називає швидкості деяких видів транспорту. Ці дані учні можуть записати в своїх довідниках і потім використати під час складання задач.Для формування навичок корисно усно розв'язувати задачі за таблицями
Знайти швидкість
Знайти відстань
Знайти час
Знайти невідомі величини
Зв'язки між величинами: швидкість, час, відстань – розкривають за такою самою методикою, як і зв'язки між іншими пропорційними величинами. Внаслідок цієї роботи діти повинні засвоїти такі зв'язки: якщо відомі відстань і час руху, то можна знайти швидкість дією ділення; якщо відомі швидкість і час руху, то можна знайти відстань дією множення. Якщо відомі відстань і швидкість, то можна знайти час руху дією ділення .Далі, спираючись на ці знання, діти розв'язуватимуть складені задачі, у тому числі задачі на знаходження четвертого пропорційного, на пропорційне ділення, на знаходження невідомих за двома різницями з величинами: швидкість, час, відстань. Під час роботи над цими задачами треба частіше використовувати ілюстрації у вигляді креслення, бо креслення допомагає правильно уявити життєву ситуацію, відбиту в задачі. Як і в процесі розв'язування задач інших видів, треба пропонувати вправи творчого характеру на перетворення і складання задач.Під час роботи над задачами на рух можна виділити такі основні поняття, без усвідомлення яких неможливе їх правильне розв'язування.
1. Зустрічний рух:
– швидкість зближення;
– час руху до зустрічі (час зближення), якщо два тіла одночасно (неодночасно) почали рухатися назустріч одне одному з однаковими (неоднаковими) швидкостями.
2. Рух у протилежних напрямках:
– швидкість віддалення;
– час віддалення, якщо два тіла почали одночасно (неодночасно) рухатися з одного пункту у протилежних напрямках з однаковими (різними) швидкостями.
3. Рух в одному напрямі:
– швидкість зближення (віддалення);
– час зближення (віддалення).
4. Рух за течією чи проти течії:
– власна швидкість катера (моторного човна, тощо);
– швидкість катера за течією;
– швидкість катера проти течії;
– швидкість зближення і час зближення, коли катер наздоганяє пліт;
– швидкість зближення і час зближення, коли катер рухається назустріч плоту;
– швидкість віддалення і час віддалення, коли катер і пліт рухаються з одного пункту у протилежних напрямках.
5. Середня швидкість руху:
– середня арифметична величина;
– середня швидкість як середня арифметична величина.
Після виконання вправ з підручника учні зможуть порівняти швидкості живих істот та різних видів транспорту, зробити чіткі висновки про залежність між величинами: швидкість, час і відстань. Щоб краще школярі розуміли і запам'ятовували, як знайти одну з величин, коли відомі дві інші, сприятиме така схема:
Однак необхідно періодично вимагати від школярів пояснення: чому, щоб знайти час, треба відстань поділити на швидкість; чому, щоб знайти…
Саме при розв'язуванні простих задач, пов'язаних з цими величинами, прийоми складання обернених задач та зміни числових даних певним чином допомагають ознайомити учнів з пропорційною залежністю між величинами.Спочатку корисно складати і розв'язувати тріади простих взаємно обернених задач, записуючи їх умови в таку таблицю:
Потім вчителю слід продемонструвати учням, що станеться, якщо одну з величин зафіксувати (не змінювати), а другу збільшити чи зменшити в кілька разів. Умови задач, що порівнюються, записуються одній таблиці.Корисно також за готовими таблицями складати і розв'язувати задачі усно, а потім проводити бесіди з учнями, порівнюючи умови та відповіді задач.
За таблицею можна провести таку бесіду:
– Чим схожі задачі 1) і 2)? (Час однаковий).
– Чим вони різняться? (Швидкість збільшилась удвічі у задачі 2).
– Порівняйте відповіді, як змінилася відстань? (Відстань збільшилась удвічі).
– Чому так сталося? (Тому, що за кожну годину машина проїжджає більшу відстань).
– Порівняйте задачі 3) і 4). Чим вони схожі? (Однаковий час).
– Чим різняться задачі 3) і 4)? (Відстань зменшилася удвічі в задачі 4).
– Порівняйте відповіді задач. Що сталося зі швидкістю, коли відстань зменшилася удвічі, а час не змінився? (Швидкість теж зменшилася удвічі).
– Чим схожі задачі 1) і 5)? (Швидкості однакові).
– Чим різняться задачі 1) і 5)? (Час у задачі 5) більший удвічі).
– Порівняйте відповіді задач 1) і 5). Як змінилася відстань, коли час удвічі збільшився при тій самій швидкості? (Відстань збільшилася удвічі).
– Чому так сталося? (Тому, що чим довше їде машина, тим більшу відстань проїжджає).
– Чим схожі і чим різняться задачі 7) та 6)? (Відстані однакові, а швидкість збільшилася удвічі).
– Як змінився час? (Зменшився удвічі).
– Як це можна пояснити? (У задачі 6) за кожну годину машина проїжджала 30 км від усієї відстані – 240 км, а у задачі 7) машина удвічі більше проїжджає за годину – 60 км, вона подолає відстань 240 км за час удвічі менший).
– Чим схожі і чим різняться задачі 8) і 9)? (Відстані однакові, а час зріс у 4 рази в задачі 9). Відповіді різні. Швидкість у задачі 9) у 4 рази зменшилася).
– Чому швидкість зменшилася у 4 рази у задачі 9)? (Ту саму відстань 240 км машина подолала за час у 4 рази довший, тобто рухалася у 4 рази повільніше, ніж у задачі 8).
– Чим схожі та чим різняться задачі 10) та 11)? (Швидкості однакові, а відстань більша у 3 рази в задачі 11).
Відповідь – час у задачі 11) зріс також у 3 рази).
– Як пояснити зміну у відповіді? (Якщо швидкість машини не змінилася, то утричі більшу відстань вона зможе подолати за утричі більший час).
Так пропедевтично учні ознайомлюються з прямо пропорційною залежністю між величинами, коли із збільшенням (зменшенням) однієї величини у кілька разів, друга величина збільшується (зменшується) у стільки ж разів, та з обернено пропорційною залежністю між величинами, коли із збільшенням (зменшенням) однієї величини у кілька разів, друга – зменшується (збільшується) у стільки ж разів.На уроках математики вчитель, використовуючи машини-іграшки, підводить дітей до висновку, що коли машини одночасно починають рухатися з одного пункту в протилежних напрямках, то сума їх швидкостей буде швидкістю віддалення. Якщо ж машини рухаються по прямому шляху назустріч, то сума їх швидкостей буде швидкістю зближення.
Методика розв’язування задач на рух
Навчання учнів математики на уроці організовують у формі колективної фронтальної або індивідуальної самостійної роботи, застосовують також і групову форму навчання. Колективна форма роботи має характер бесіди вчителя й учнів з елементами зв'язного пояснення. В роботі над конкретним математичним матеріалом бесіда використовується на різних етапах його опрацювання.Особливою формою фронтальної роботи є така, коли учитель сам ставить запитання і сам відповідає на них (за суттю це метод зв'язного викладу, розповіді). Застосування такої форми в 4-5 класах доцільне, оскільки молодші школярі великою мірою у навчанні наслідують учителя. Коментоване розв'язування завдань учителем призначене найчастіше не для ознайомлення з новим матеріалом, а для подання учням зразків міркування.У практиці навчання є багато ситуацій, коли необхідно, щоб ту саму задачу діти розв'язали одночасно із записом його розв'язання на дошці. Це напівсамостійна робота: один з учнів розв'язує завдання на дошці або коментує розв'язання з місця, а решта розв'язує його в зошитах. Звичайно, вчитель рекомендує дітям працювати самостійно, але учень у будь-який час може побачити запис розв'язання чи почути пояснення ходу розв'язування і звірити його зі своїм.
Напівсамостійна форма роботи може бути застосована:
а) у процесі первинного закріплення, тобто під час розв'язування перших після показу вчителем задач на ознайомлення з новими поняттями чи новими видами задач;
б) під час розв'язування задач підвищеної складності;
в) для порівняння різних способів розв'язування того самого завдання;
г) для аналізу помилок, допущених учнями під час самостійного розв'язування завдань;
д) у ході підготовки дітей до сприймання нового матеріалу, в тому числі задач нового виду.
Індивідуальна самостійна робота передбачає розв'язування задачі кожним учнем окремо. Вона застосовується на будь-якому з етапів навчання, але найчастіше в процесі розвитку вмінь виконувати завдання того чи іншого виду. Самостійне розв'язування задач у 4-5 класах майже завжди для учнів є творчим процесом.Отже, в організації такої роботи слід враховувати вимоги щодо проблемного навчання. Вчитель спрямовує дітей на самостійне розв'язування задач за допомогою відповідних підготовчих вправ або засобів унаочнення, своєчасно виявляє помилкові міркування учнів у процесі розв'язування завдань і допомагає їм, підтримує при цьому емоційний тонус і впевненість у тому, що кожен з учнів спроможний самостійно розв'язати завдання.В організації діяльності учнів щодо розв'язування тієї чи іншої задачі вчитель завжди ставить певну мету і залежно від неї визначає форму роботи. Зрозуміло, що колективна й індивідуальна форми роботи можуть змінюватись навіть у процесі виконання одного завдання. Наприклад, ознайомлення зі змістом задачі було проведено у формі колективної фронтальної роботи, а аналіз задачі, складання плану і її розв'язування вчитель пропонує здійснити самостійно.
Практикуються також групові форми навчання. Здебільшого це парні, ланкові або диференційовано-групові. В 5 класі найчастіше використовують диференційовано-групову форму, що передбачає організацію роботи груп з різними навчальними можливостями. Найчастіше учнів поділяють на три групи: сильнішу, середню і слабку. За диференційовано-груповою формою навчання всі діти здебільшого працюють за завданнями, що мають спільну пізнавальну мету. Дія різних за навчальними можливостями груп учнів завдання відрізняються за обсягом, рівнем складності, мірою допомоги.Під час ознайомлення, наприклад, з новою задачею, застосовують два способи диференціації. За першим способом диференційовану роботу організовують у комплексі з фронтальною. Ознайомлення зі змістом нової задачі проводиться фронтально. Наявність різних груп учнів учитель враховує під час первинного закріплення матеріалу. Діти першої і другої груп працюють самостійно за картками або з підручником. З учнями третьої групи вчитель повторно аналізує задачі, розглядає окремі питання, в яких висвітлюється суть задачі, її новизна.Організовуючи самостійну роботу учнів, найчастіше застосовують такі три види диференціації: індивідуалізацію вимог до спільного завдання; надання допомоги в одному з варіантів самостійної роботи (індивідуальна допомога); спрощення одного з двох варіантів самостійної роботи.
Під час ознайомлення із швидкістю учні визначали швидкість свого руху пішки. Для цього в спортзалі позначалася «замкнута доріжка», поділена на відрізки по 10 м, щоб зручніше було визначати шлях, який проходив кожний учень. Ми пропонували дітям іти доріжкою протягом 2-х хвилин. Учні, користуючись десятиметровими позначками, легко обчислювали пройдену відстань. Ми повідомляли, що відстань, яку пройшов учень за хвилину, називають його швидкістю. Учні називали швидкість свого руху. Потім ми називали швидкості деяких видів транспорту.Зв'язки між величинами: швидкість, час, відстань – розкриваються за такою самою методикою, як і зв'язки між іншими пропорційними величинами. Внаслідок цієї роботи діти засвоюють такі зв'язки: якщо відомі відстань і час руху, то можна знайти швидкість дією ділення; якщо відомі швидкість і час руху, то можна знайти відстань дією множення. Якщо відомі відстань і швидкість, то можна знайти час руху дією ділення.Далі, спираючись на ці знання, діти розв'язують складені задачі з величинами швидкість, час, відстань. Під час роботи над цими задачами часто використовувалися ілюстрації у вигляді креслення.
На підготовчому етапі вчитель виходить з важливості усвідомлення дітьми поняття «швидкість». Для цього він пропонує учням таку систему завдань та запитань:
– Хто швидше рухається – пішохід чи велосипедист, велосипедист чи машина?
– Яке слово вживають водії, порівнюючи швидкість руху різних марок машин? Що ж таке швидкість, як ви гадаєте?
– Чому деякі поїзди називають швидкими, чим вони відрізняються від звичайних?
– Допоможіть хлопчикам, які посперечалися, хто з них швидше прийшов до школи:
а) Петрик пройшов 120 м за 5 хвилин, а Дмитрик – 120 м за 3 хвилини. Хто швидше йшов?
б) Микола пройшов 300 м за 6 хвилин, а Сергій – 450 м за 9 хвилин. Хто швидше йшов?
в) Антон пройшов 280 м за 7 хвилин, а Михайло – 480 м за 16 хвилин. Хто швидше йшов?
Підготовча робота даного змісту готує молодших школярів до розв’язування складених задач на рух. Розглянемо методику роботи над задачами на рух у зустрічному напрямку.
Задача 1. З пристані Київ до пристані Кременчук вийшов теплохід, і одночасно йому назустріч з пристані Кременчук вийшов катер. Теплохід ішов зі швидкістю 30 км/год, а катер – 24 км/год. Через 5 год вони зустрілися. Яка відстань між пристанями? Під час повторення змісту задачі вчитель креслить на дошці ілюстрацію:
Бесіда. Що означає: «Через 5 год вони зустрілися»? (Теплохід і катер з моменту виходу до моменту зустрічі були в дорозі 5 год.) Яку відстань пройшов за 5 год теплохід? («Від пристані Київ до прапорця», – показує один учень біля дошки.) Яку відстань пройшов катер за 5 год? (Другий учень показує на кресленні.) То з яких двох частин складається шукана відстань між пристанями? (З відстаней, які пройшов кожен теплохід за 5 год.) Чи можемо ми взнати відстань, яку пройшов теплохід до зустрічі? (Можемо, бо відомо його швидкість і час руху до зустрічі.) Чи можемо взнати відстань, яку пройшов до зустрічі катер? (Можемо.)А коли обидві відстані будуть відомі, про що зможемо дізнатися? (Про відстань між пристанями.) Давайте запишемо розв'язання виразом. Що знайдемо в першій дії? Якою дією? (Вчитель пише на дошці, а учні в зошитах: 30 • 5.) Про що дізнаємося в другій дії? Якою дією? Поруч з'являється другий запис: 30 • 5; 24 • 5. Про що дізнаємося в третій дії? Чого бракує, щоб скласти остаточний вираз? (Вписують знак «+»: 30 • 5 + 24 • 5.) Чи потрібні дужки? Учні усно обчислюють проміжні результати. Записи мають вигляд: 30 • 5 + 24 • 5 = 150 + 120 = 270 (км).
Ми розв'язали задачу першим способом. Її можна розв'язати і по іншому. Чи можемо ми взнати, на скільки кілометрів наблизяться теплохід і катер один до одного за першу годину руху? (Так, 30 + 24 = = 54 км.) На яку відстань наблизяться вони за другу годину? (На 54 км.) За третю годину? Четверту? П'яту? Ви бачите, що за кожну годину вони наближаються на 54 км, а таких годин до зустрічі пройшло 5. То про що тепер можна дізнатися? (Скільки кілометрів пройшли до зустрічі теплохід і катер разом.) А це і означає, що ми знайдемо відстань між пристанями. Якою дією? Хто запише на дошці вираз? (Учень записує: (30 + 24) • 5 = 270 (км).) Ви бачите, що відповіді в обох способах вийшли однакові.
Далі вчитель ще раз аналізує другий спосіб розв'язання. Звертає увагу учнів на те, що відстань, яку проходять за кожну годину теплохід і катер разом, дорівнює сумі швидкостей і називається швидкістю зближення. Щоб обчислити відстань між пристанями, ми швидкість зближення множили на час руху до зустрічі.
Задача 2. Відстань між пунктами А і В 18 км. З пункту А у напрямку до пункту В вийшов турист, а другий турист одночасно вийшов йому назустріч з пункту В. Через який час зустрінуться туристи, якщо їхні швидкості однакові і дорівнюють 3 км/год?
Графічна ілюстрація буде опорою під час аналізу задачі. Прапорець позначає місце зустрічі.? год
Аналіз можна провести від числових даних.
Запитання до учнів:
– З якою швидкістю рухалися туристи?
– Де буде місце зустрічі туристів?
– На скільки кілометрів наближаються туристи один до одного за 1 год?
– Яка швидкість зближення?
– Що відомо про відстань АВ?
– Чи можна дізнатися, через який час зустрінуться туристи?
Розв'язання:
1) 3 + 3 = 6 (км/год) – швидкість зближення туристів;
2) 18: 6 = 3 (год) – час, через який зустрінуться туристи.
Відповідь. Через 3 год.
Задача 3. Відстань між пунктами А та В складає 24 км. З пункту А до пункту В вийшов турист зі швидкістю 3 км/год, а з пункту В назустріч йому через 1 год вийшов другий турист зі швидкістю 4 км/год. Через який час після виходу другого туриста відбулася їхня зустріч?
Графічна ілюстрація змісту задачі.
? год
Запитання до учнів під час аналізу задачі можуть бути такими:
– Що відомо про відстань АВ?
– Скільки кілометрів пройшов перший турист до виходу другого?
– Як ви це знайшли?
– Яку відстань залишилось пройти обом туристам до зустрічі?
– Які швидкості туристів?
– На скільки кілометрів зближаються туристи за 1 год?
– Якщо відомі швидкість зближення і відстань, яку залишилося пройти до зустрічі, що можна знайти?
Учні складають план розв'язування задачі і записують розв'язання.
Розв'язання:
1) 3 • 1 = 3 (км) – пройшов перший турист до виходу другого;
2) 24 – 3 = 21 (км) – залишилось пройти обом до зустрічі;
3) 3 + 4 = 7 (км/год) – швидкість зближення;
3) 21: 7 = 3 (год) – час, через який після виходу другого туриста відбудеться зустріч.
Відповідь. Через 3 год.
Задача 4. Відстань між пунктами А та В складає 28 км. З пункту А до пункту В вийшов турист зі швидкістю 3 км/год, а з пункту В назустріч йому вийшов одночасно другий турист зі швидкістю 4 км/год. На якій відстані від пункту А зустрінуться туристи?
Графічна ілюстрація змісту задачі.
Запитання до учнів аналогічні тим, що були під час розв'язування задачі 1. Наприкінці можна запитувати:
– Що треба знати, щоб знайти місце зустрічі?
– Як знайти відстань від пункту А до місця зустрічі?
Крім того, можна розібрати з учнями такі питання:
– Від чого залежить місце зустрічі?
– На якій відстані зустрілися б туристи, якщо б їхні швидкості були однакові?
– Ближче до якого пункту станеться зустріч? Чому?
– Що можна сказати про час руху обох туристів до місця зустрічі?
Розв'язання:
1) 3 + 4 = 7 (км/год) – швидкість зближення;
2) 28: 7 = 4 (год) – час до зустрічі;
4) 3 • 4 = 12 (км) – відстань від пункту А, на якій зустрілися туристи.
Відповідь. Через 12 км.
Після розв'язання задачі можна поставити такі запитання:
– Якими способами можна знайти відстані від місця зустрічі до пункту В?
– Як перевірити правильність розв'язання задачі?
Розглянемо методику роботи над задачами на рух у протилежних напрямках.
Задача 5. Два пішоходи вийшли з одного міста у протилежних напрямках. Перший пішохід ішов зі швидкістю 5 км/год, а другий 4 км/год. Дай відповідь на такі запитання:
1) На скільки кілометрів віддалялися пішоходи за 1 год?
2) На скільки кілометрів віддалилися пішоходи за З год?
3) Скільки кілометрів пройшов кожний пішохід за 3 год?
Вчитель ставить двох учнів посередині класу і дає кожному картку з його швидкістю. Учні стоять поряд спиною один до одного і за командою вчителя починають віддалятися один від одного. Вчитель зупиняє їх і говорить, що пройшла година. Діти з'ясовують, що пішоходи віддалилися один від одного на суму їхніх швидкостей. Учні знову починають іти і за наказом учителя зупиняються – пройшла ще одна година. Знову підраховують, на скільки кілометрів віддалилися пішоходи протягом другої години та за дві години разом.
Процедуру проробляють втретє і знову підраховують. Вчитель говорить, що кожної години пішоходи віддаляються на однакову відстань – 9 км. Тому кажуть, що 9 км/год – це швидкість їхнього віддалення. Вона, як і швидкість зближення під час зустрічного руху, дорівнює сумі швидкостей. Знаючи швидкість віддалення і час руху, можна обчислити, на якій відстані один від одного опиняться пішоходи через вказаний час. Вчитель зображує на дошці ілюстрацію:
На малюнку діти показують, з яких двох частин складається ця відстань, і обчислюють кожну частину (шляхи обох пішоходів). Один учень записує розв'язання задачі виразом на 3 дії. Після цього відстань обчислюють за допомогою швидкості віддалення і записують другий спосіб обчислення. Діти бачать, що розв'язання таке ж, як і в роботі з задачами на зустрічний рух, тільки сума швидкості має іншу назву. Вчитель пропонує уявити, що пішоходи повернулися обличчям один до одного і починають іти з тими ж швидкостями. Яку задачу тепер можна скласти? Яким буде її розв'язання? Воно повністю співпадає зрозв'язанням попередньої задачі.
Задача 6. Два пішоходи рухаються у протилежних напрямках. Швидкість одного – 5 км/год, а другого – 4 км/год. На скільки кілометрів вони віддаляються один від одного за 1 год; за 2 год; за 3 год?
Графічна схема до цієї задачі:
Передумовою до розв'язання цієї задачі є попереднє з'ясування з учнями таких питань:
– У якому напрямку рухаються пішоходи, коли йдеться про швидкість зближення?
– Як знаходять швидкість зближення?
– У якому напрямку рухаються пішоходи, коли вони віддаляються один від одного?
– Як можна назвати швидкість, з якою пішоходи віддаляються один від одного?
– Як знаходять цю швидкість?
– Що спільного у знаходженні швидкостей зближення і віддалення?
– Від чого залежить відстань між двома пішоходами через певний час, якщо вони вирушають одночасно?
– Назустріч один одному?
– У протилежних напрямках? Як знаходять відстань у цих випадках?
– Що спільного у її знаходженні?
Запитання до учнів під час аналізу задачі:
– Що відомо про швидкості пішоходів?
– Яке перше запитання задачі, чи можна на нього відповісти?
Розв'язання:
1) 5 + 4 = 9 (км) – пройшли пішоходи за 1 год (швидкість віддалення);
2) 9 • 2 = 18 (км) – пройшли пішоходи за 2 год;
3) 9 • 3 = 27 (км) – пройшли пішоходи за 3 год.
Відповідь. На 9 км; на 18 км; на 27 км.
Задача 7. Два літаки одночасно вилетіли з аеродрому в протилежних напрямках. Через півгодини після вильоту відстань між ними була 720 км. Перший літак летів зі швидкістю 15 км/хв. З якою швидкістю летів другий літак? Графічна схема до цієї задачі:
Запитання до учнів під час аналізу задачі:
– Що відомо про рух першого літака і про що можна дізнатися?
– Яка відстань між літаками була через півгодини після вильоту?
– Чи можна знайти відстань, яку пролетів другий літак?
– Про що запитується в задачі?
– Які дії треб виконати, щоб відповісти на запитання задачі?
Розв'язання:
1) 15 • 30 = 450 (км) – пролетів перший літак;
2) 720 – 450 = 270 (км) – пролетів другий літак;
3) 270: 30=9 (км/хв) – швидкість другого літака.
Відповідь. 9 км/хв.
Розглянемо методику роботи над задачами на рух в одному напрямку.
Задача 8.
Від однієї пристані вирушили в одному напрямі катер і буксир. Швидкість катера 27 км/год, а буксира 18 км/год. Яка відстань буде між ними через 3 год? (Розв'яжи задачу двома способами.)
Ілюстрація.
Бесіда. Хоч у задачі про це не сказано, але мається на увазі, що катер і буксир вирушили одночасно. Скільки годин був у дорозі кожен з них? (З години.) То що ми можемо взнати про рух кожного? (Відстані, які пропливли за цей час катер і буксир.) Коли будуть відомі пройдені відстані, що можна буде взнати? (Відстань між катером і буксиром.) То на скільки дій задача? (На три.) Учні записують розв'язання першим способом.
– Задача має і другий спосіб розв'язування. Уявіть собі, як рухаються катер і буксир. Лише в початковий момент руху вони перебувають поруч. А далі з першої ж хвилини катер починає випереджати буксир. Чому? (Бо його швидкість більша.) Чи можна взнати, на скільки кілометрів випередить катер буксир через 1 годину? (Можна: 27 – 18 = 9 (км).) Вчитель показує цю відстань на малюнку. Протягом другої години катер знову випередить буксир на 9 км. То яка відстань буде між катером і буксиром через 2 години? (9 + 9 = 18 (км).) А через 3 години? (18 + 9 = 27 (км).) Вчитель щоразу показує ці відстані на малюнку:
Можна підкреслити, що катер за 2 год пройшов відстань, на подолання якої буксирові знадобилося 3 год: 27 • 2 = 54 (км); 18 • 3 = 54 (км).
Тому на малюнку не випадково другий і третій прапорці на кожній прямій розміщені строго один під одним. Учні записують розв'язання другим способом:
1) 27 – 18 = 9 (км) – на стільки катер випереджає буксир за кожну годину;
2) 9 • 3 = 27 (км) – на стільки він випередить буксир через 3 години.
Відповідь. На 27 км.
Задача 9. Від пристані А спускається вниз за течією катер зі швидкістю 16 км/год на відстань 96 км і повертається назад, витративши на шлях у обидва кінці 14 год. Яка швидкість течії?
Графічна схема умови задачі:
 
Виходячи з того, що дану задачу учням важко розв’язати на уроці, ми використовували її у позакласній роботі з математики. Перед розв'язуванням задачі доцільно дати учням завдання скласти числовий вираз для знаходження різниці між швидкістю катера за течією і його швидкістю проти течії, якщо швидкість катера у стоячій воді – 14 км/год, а швидкість течії – 2 км/год.
(14 + 2) – (14 – 2) = 16 – 12 = 4 = 2 • 2.
Учні побачать, що швидкість катера за течією більша за його швидкість проти течії на подвійну швидкість течії.
Це саме можна зобразити за допомогою графічної схеми:
Якщо довжина відрізка АВ зображує швидкість катера у стоячій воді, а ВД – швидкість течії, тоді довжина відрізка АД буде зображати швидкість катера за течією, а АС (ВС = ВД) – швидкість катера проти течії. АД більше за АС на подвійну швидкість течії (подвійний відрізок ВД). Далі можна перейти до розв'язування задачі, спираючись на поняття, сформовані під час розв'язування попередніх задач.
Розв'язання:
1) 96: 16 = 6 (год) – йшов катер за течією;
2) 14 – 6 = 8 (год) – йшов катер проти течії;
3) 96: 8 = 12 (км/год) – швидкість катера проти течії;
4) 16 – 12 = 4 (км/год) – на стільки більша швидкість катера за течією, ніж проти течії (подвійна швидкість течії);
5) 4: 2 = 2 (км/год) – швидкість течії.
Відповідь. 2 км/год.
Складіть задачу за графічною схемою і виразом: (284 – 12 • 7): 10.
Висновки
Розв’язування задач займає значне місце в курсі математики 4-5 класів. При цьому термін «задача» вживається в різних значеннях і передбачає необхідність свідомого пошуку відповідних засобів для досягнення мети, яку добре видно, але яка безпосередньо недосяжна. У психологічному аспекті задача розглядається як свідома мета, що існує в певних умовах, а дії – як процеси, спрямовані на розв'язування задачі.Важливе значення для розв'язування текстових задач у навчальному процесі має ретельний добір навчальних завдань, які мають відповідати певним загально-методичним вимогам: забезпечувати засвоєння учнями програмового матеріалу з математики і, зокрема, формувати в них знання про задачу, її склад і процес розв'язування, вчити використовувати набуті знання в різних ситуаціях. При цьому зміст завдань має відповідати темі уроку і меті вивчення матеріалу, а числові дані – програмовим вимогам; послідовність застосування вправ має сприяти свідомому засвоєнню теоретичних знань і вмінню розв'язувати задачі, розвитку прийомів розумової і творчої діяльності школярів; забезпечувати автоматизацію елементарних дій, з яких складається діяльність при розв'язуванні задач; створювати умови для узагальнення способів діяльності; відповідати логіці й структурі процесу формування вмінь. Кількість задач повинна відповідати психологічним особливостям школярів і бути достатньою для формування певного вміння або навички.Дидактичні особливості задач на рух пов’язані з принципами навчання, формами організації навчальної роботи та методами навчання. Методика математики враховує дані дидактики, але в їх використанні відображає особливості своєї науки. У кожному з етапів задач на рух відчутні загальні положення дидактики.
Підготовча робота до розв'язування задач на рух передбачає узагальнення уявлень дітей про рух; ознайомлення з новою величиною – швидкістю, розкриття зв'язків між величинами: швидкість, час, відстань. Для узагальнення уявлень дітей про рух корисно провести спеціальну екскурсію для спостереження за рухом транспорту, після чого організувати спостереження за рухом в умовах класу.Чималі труднощі під час розв'язування задач на рух у середніх та старших класах визначаються недостатньою роботою над даним типом задач у початковій школі. Однією з причин цього є недостатня сформованість у початкових класах понять про величини (час, відстань, швидкість) та їх пропорційну залежність. У молодших школярів необхідні поняття можливо формувати як на матеріалі чинних підручників початкових класів, так і доповнюючи його задачами, складеними на підґрунті типових задач, призначених для учнів середніх класів.
Список літератури
1. Бантова М.О. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Вища школа, 1982. – 288 с.
2. Басангова Р.Е. Стимулювання пізнавальної діяльності учнів в ході розв’язування задач // Поч. школа. – 1989. – №1. – С. 40–44.
3. Белова Е.С. Развитие диалога в процессе решения школьниками мыслительных задач // Вопр. психологии. – 1991. – №2. – С. 148–153.
4. Богданович М.Б. Дидактичний матеріал з математики для 3-го класу. – К.: Рад. школа, 1977. – 34 с.
5. Богданович М.Б. Методика розв’язування задач у початковій школі. – К.: Вища школа, 1990. – 183 с.
6. Богданович М.Б., Козак М.В., Король Я.А. Методика викладання математики в початкових класах: Навч. пос. – Тернопіль: Навч. книга – Богдан, 2001. – 368 с.
7. Богданович М.В. Математика: Підручник для 4 кл. чотириріч. поч. шк. – К.: Освіта, 1994. – 226 с.
8. Богданович М.В. Урок математики в початковій школі: Пос. для вчителя. – К.: Рад. школа, 1990. – 192 с.
9. Василенко І.З. Методика викладання математики в початкових класах. – К.: Просвіта, 1971. – 376 с.
10. Возрастные возможности усвоения знаний / Под. ред. Д.Б. Эльконина, В.В. Давыдова. – М.: Педагогика, 1966. – 232 с.
11. Вопросы дидактики и психологии начального обучения / Под. ред. Б.Г. Ананьева. – Л.: Лен. НИИ пед. АПН РСФСР, 1959. – 98 с.
12. Газдун М.І. Як учити молодших школярів розв’язувати задачі // Поч. школа. – 1988. – №11. – С. 70–72.
13. Глушков И.К. Дифференцированная работа над задачами // Нач. школа. – 1985. – №2. – С. 34–35.
|
Немає коментарів:
Дописати коментар